\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{tikz}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{回顾Lorentz 变换}
	\footnote{参考：Griffiths《电动力学导论》, David Tong 《Dynamics and Relativity》, https://zhuanlan.zhihu.com/p/104923671。本文使用AI辅助。}
	我们先前已经了解了Lorentz 变换。
	假设我们有两个惯性参考系，$S1$与$S2$，且$S2$系以速度 $u$ 沿 $x$轴正方向 相对于$S1$系匀速直线运动。
	那么我们有Lorentz变换：
	\begin{equation}
		x^{(2)} = L x^{(1)} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & -\frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			-\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	\begin{equation}
		x^{(1)} = L^{-1} x^{(2)} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(1)} \\ 
			x^{(1)} \\ 
			y^{(1)} \\ 
			z^{(1)} 
		\end{pmatrix} 
		= 
		\begin{pmatrix} 
			\gamma & \frac{u}{c} \gamma & 0 & 0 \\ 
			\frac{u}{c} \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 
			0 & 0 & 1 & 0 \\ 
			0 & 0 & 0 & 1 
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			ct^{(2)} \\ 
			x^{(2)} \\ 
			y^{(2)} \\ 
			z^{(2)} 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	其中$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$
	
	\section{欢迎来到四维世界}
	\subsection{题设}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			% 设置全局缩放
			\begin{scope}[scale=0.6]
				% 绘制 S1 参考系 (黑色)
				\draw[->, thick] (0,0) -- (0,6) node[above]{$y^{(1)}$};
				\draw[->, thick] (0,0) -- (6,0) node[right]{$x^{(1)}$}; % x轴
				\node[below left] at (0,0) {$S_1$};
				
				% 绘制 S2 参考系 (蓝色)
				\draw[blue, ->, thick] (1,1) -- (1,5) node[above]{$y^{(2)}$};
				\draw[blue, ->, thick] (1,1) -- (5,1) node[right]{$x^{(2)}$}; % x轴
				\node[blue, below right] at (1,1) {$S_2$};
				
				% 绘制 S0 参考系 (橙色)
				\draw[orange, ->, thick] (3,2) -- (3,6) node[above]{$y^{(0)}$}; % t轴
				\draw[orange, ->, thick] (3,2) -- (7,2) node[right]{$x^{(0)}$}; % x轴
				\node[orange, above right] at (3,2) {$S_0$};
				
				% 标记粒子 A 的位置
				\filldraw[black] (3,2) circle (2pt) node[below right]{$A$};
				
				\draw[dashed, gray] (3,2) -- (3,0);
				\draw[dashed, gray] (3,2) -- (0,2);
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{粒子 $A$ 以及参考系 $S_0$, $S_1$, $S_2$}
	\end{figure}

	
	假定我们有一个粒子$A$以及三个参考系$S0,S1,S2$：
	\begin{itemize}
		\item 在$S1$中，粒子的时空坐标为$(ct^{(1)},x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})^T$，即在$t^{(1)}$时刻观察到粒子位于 $(x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})^T$；
		\item 在$S2$中，粒子的时空坐标为$(ct^{(2)},x^{(2)}, y^{(2)}, z^{(2)})^T$，$S2$以速度$u$相对于$S1$向右运动$u$；
		\item $S0$是粒子的固连参考系，即$S0$中粒子的时空坐标为$(ct^{(0)},0,0,0)^T$（总处于原点），$S0$相对于$S1$的运动速度即为粒子在$S1$中的速度。
	\end{itemize}
	那么，我们好像一度要处理包括$S0, S1, S2$在内的三个参考系之间的变换问题！
	在几乎所有教材中，这个问题都有点繁杂并且含糊不清。
	我们必须明确各个公式中$\gamma$的具体含义（到底是从哪个参考系到哪个？）
	
	\subsection{4-坐标；时空坐标}
	
	话不多说，如我们在Lorentz变换中所见，将时空坐标写为类似
	\begin{equation}
		x^{(1)} = (ct^{(1)},x^{(1)}, y^{(1)}, z^{(1)})^T
	\end{equation}
	的4-向量形式是有好处的：
	这不仅同时涵盖了粒子的时空位置，更重要的是，只需要做矩阵乘法，就能得到不同参考系下的时空坐标，例如从$S1$变换到$S2$：
	\begin{equation}
		x^{(2)} = L x^{(1)}
	\end{equation}
	其中$x^{(1)}$，$x^{(2)}$是粒子在不同坐标系中的时空坐标，$L$是相应的Lorentz矩阵。
	此处我们使用压缩的记号，即用$x$代表它的四个分量。
	所有的4-向量都满足这一性质，即4-向量都可被Lorentz变换。
	
	\subsection{“4-位移”}
	如上文所述，我们应该能定义两个4-坐标之间的“4-位移”，比如在参考系$S1$中，“4-位移”是：
	\begin{equation}
		\dd r^{(1)} 
		= (ct_2^{(1)},x_2^{(1)},y_2^{(1)},z_2^{(1)})^T-(ct_1^{(1)},x_1^{(1)},y_1^{(1)},z_1^{(1)})^T
		=(c \dd t^{(1)}, \dd x^{(1)}, \dd y^{(1)}, \dd z^{(1)})^T
	\end{equation}
	此处我们假定$\dd t$等都是小量。“4-位移”也是可Lorentz变换的。
	似乎“4-位移”并不是一个常用的科学术语。
	
	\subsection{4-速度；固有速度}
	既然有了位移，我们就想定义相应的速度。
	难道说，只要让“4-位移”除以时间长度，就能得到4-速度？
	这么想就想当然了：这种定义下的4-速度不能被Lorentz变换。
	
	正确的做法是，让“4-位移”除以在$S0$系下所观察到的相应过程的时间长度$\dd t^{(0)}$，这样得到的4-速度才是Lorentz协变的。例如在参考系$S1$中，4-速度$U$是：
	\begin{equation}
		U^{(1)} = \dv{r^{(1)}}{t^{(0)}} = \dv{t^{(1)}}{t^{(0)}} \dv{r^{(1)}}{t^{(1)}} = \gamma (c,v_x^{(1)},v_y^{(1)},v_z^{(1)})^T
	\end{equation}
	由于$S0$是粒子的固连参考系，那么$\dd t^{(0)}$相当于“粒子感受到的时长”，因此$\dd t^{(0)}$也称粒子的固有时，在相对论的文献中一般记为$\tau$;
	此时的坐标系变换是$S0 \leftrightarrow S1$，因此此处Lorentz因子$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$中的$v$是$S1$系中观察到的粒子的“平常速度”;
	根据先前“钟慢效应”的知识，其中$\dv{t^{(1)}}{t^{(0)}} = \gamma$，或者说，$\dd t^{(1)} = \gamma  \dd t^{(0)}$。
	
	这样的4-速度也称“固有速度”。
	但非常要小心的是，固有速度是一个抽象的概念，
	它的后三项并不是我们在$S1$系中直接“用尺子和秒表测量”的“平常速度”$\bvec v= (v_x,v_y,v_z)^T = (\dv{x}{t},\dv{y}{t},\dv{z}{t})^T$。
	有些科普混用了平常速度和4-速度，我个人认为他们是不一样的。
	
	以下我们均假定在$S1$系中观察，因此省略掉$^{(1)}$上标。
	
	\subsection{4-加速度；固有加速度}
	接下来我们要导出4-加速度，同样需要关于$t^{(0)}$求导$U$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			A &= \dv{U}{t^{(0)}} = \dv{t}{t^{(0)}} \dv{U}{t} = \gamma \dv{U}{t} \\
			&= \gamma \left( \dv{\gamma}{t} ~(c,v_x,v_y,v_z)^T+ \gamma \dv{}{t}~(c,v_x,v_y,v_z)^T \right)  \\
			& = \gamma 
			\left(
			\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2}(c,v_x,v_y,v_z)^T 
			+ \gamma (0,a_x,a_y,a_z)^T
			\right), \qquad \dv{\gamma}{t} =  \gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} \\
			& = 
			\gamma 
			\begin{pmatrix}
				\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c} \\
				\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} v_x + \gamma a_x \\
				\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} v_y + \gamma a_y \\
				\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} v_z + \gamma a_z
			\end{pmatrix} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中$\bvec a = (a_x,a_y,a_z) = (\dv{v_x}{t},\dv{v_y}{t},\dv{v_z}{t})^T$是“平常加速度”；
	此外，$U=\gamma (c,v_x,v_y,v_z)^T$中$\gamma$也是含$v$的，也需要被关于$t$求导；
	$\dv{\gamma}{t}$的展开形式使用了我们在“相对论动量定理”中学到的经验。
	
	这样的4-加速度也称固有加速度，它的形式看起来非常庞杂！
	注意，4-加速度后三维也不是我们观察到的“平常”加速度。
	
	\newpage
	上文我们简要论述了粒子的运动学量，接下来我们处理动力学量，包括动量与力。
	\subsection{4-动量}
	4-动量是粒子的静止质量乘以它的4-速度：
	\begin{equation}
		P = m_0 U = m_0 \gamma (c,v_x,v_y,v_z)^T
	\end{equation}
	其中$m_0$是粒子的静止质量。
	
	观察4-动量 $P$ 的展开形式，
	我们发现 $P$ 的后三个分量，正是我们之前得到的“相对论动量” $\bvec{p} = \gamma m_0 (v_x, v_y, v_z)^T$；
	而第零分量 $P^0 = m_0 \gamma c = \frac{E}{c}$ 与粒子的能量 $E = \gamma m_0 c^2$ 相似。
	因此，有时我们说4-动量同时包含了粒子的能量和动量。
	可见，4-动量是“相对论动量”的完全体。
	
	4-动量的另一个重要特性是其守恒性，4-动量守恒是经典力学动量守恒定律在相对论框架下的推广，这进一步验证了4-动量定义的合理性。
	
	不过好像没人称4-动量为“固有动量”。
	
	\subsection{4-力}
	接下来我们将讨论4-力，或闵可夫斯基力。
	我们仍假定动量定理的成立，即4-动量的变化由4-力引起。
	当然，我们继续使用固有时：
	\begin{equation}
		K = \dv{P}{t^{(0)}} 
	\end{equation}
	结合4-动量与4-加速度的定义，我们发现
	\begin{equation}
		K = \dv{P}{t^{(0)}} = m_0 \dv{U}{t^{(0)}} = m_0 A 
		= \gamma m_0
		\begin{pmatrix}
			\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c} \\
			\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} v_x + \gamma a_x \\
			\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} v_y + \gamma a_y \\
			\gamma^3 \frac{\bvec v \cdot \bvec a}{c^2} v_z + \gamma a_z
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	$K = m_0 A$相当于推广的牛顿第二定律；
	我们发现$K$的后三项相当于“相对论动量守恒”中讨论的力再乘以一个$\gamma$,
	而$K$的第零分量$K^0 = \gamma \dv{P^0}{t} = \frac{\gamma}{c} \dv{E}{t}$相当于功率；
	此式不应该看作$K$的定义---他只是在告诉我们，$K$如何影响粒子的运动。
	
	\newpage
	\section{小结}
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			\textbf{物理量} & \textbf{4-向量}  & \textbf{“平常”向量} \\
			\hline
			坐标 & \( r = (ct, x, y, z)^T \)  &  \( \bvec{r} = (x, y, z)^T \) \\
			\hline
			位移 & \( \dd r = (c \dd t, \dd x, \dd y, \dd z)^T \) & \( \dd \bvec{r} = (\dd x, \dd y, \dd z)^T \) \\
			\hline
			速度 & \( U = \dv{r}{t^{(0)}} =  \gamma (c, v_x, v_y, v_z)^T \)& \( \bvec{v} = \dv{\bvec r}{t} = (v_x, v_y, v_z)^T \) \\
			\hline
			加速度 
			& 
			\( A = \dv{U}{t^{(0)}} =  \gamma \begin{pmatrix} 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c} \\ 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c^2} v_x + \gamma a_x \\ 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c^2} v_y + \gamma a_y \\ 
				\gamma^3 \frac{\bvec{v} \cdot \bvec{a}}{c^2} v_z + \gamma a_z 
			\end{pmatrix} \) 
			& \( \bvec{a} = \dv{\bvec v}{t} = (a_x, a_y, a_z)^T \) \\
			\hline
			动量 
			& \( P = m_0 U = m_0 \gamma (c, v_x, v_y, v_z)^T \) 
			& \( \bvec{p} = m_0 \bvec v = m_0 (v_x, v_y, v_z)^T \) \\
			\hline
			力 & $K = \dv{P}{t^{(0)}} = m_0 A$ & $\bvec F = \dv{\bvec p}{t} = m_0 \bvec a$ \\
			\hline
		\end{tabular}
		\caption{4-向量与“平常”向量的对比}
		\label{tab:4vector_vs_normal}
	\end{table}
	关于力，我们此处只列举了相对论动量定理。
	力的“真正形式”则取决于具体的物理建模，如电磁力$\bvec F = q \bvec E + q \bvec v \times \bvec B$、引力等
	(当然，在经典狭义相对论语境下，唯一需要考虑的力似乎只有电磁力)。

 	\end{document}